MathCAD: задачки по численным методам базового уровня и подсказки к ним

Примеры задач по численным методам базового уровня. Конечно, в условии должен быть хотя бы минимальный нюанс, чтобы работа человека, решающего задачу, не свелась к подстановке своих чисел в готовые функции или формулы. "Заточено" под MathCAD, вот темы задач:

1. Решение нелинейных уравнений: методы половинного деления (бисекции), простой итерации, Ньютона;

2. Решение СЛАУ: методы обратной матрицы и Крамера (прямые), простой итерации и Гаусса-Зейделя (итерационные);

3. Интерполяция и аппроксимация: канонический полином и полином Лагранжа, кусочно-постоянная и кусочно-линейная интерполяция, метод наименьших квадратов 1 и 2 порядка;

4. Численное интегрирование: методы левых, правых и средних прямоугольников, трапеций, Симпсона;

5. Численное дифференцирование: явный метод Эйлера, «предиктор-корректор», метод Рунге-Кутты 4 порядка, краевая задача для уравнения 2 порядка.

Задача 1. Задана таблица значений функции y(x)

Оценить значение функции при X=1.5, если известно, что на интервалах [n,n+1], где n – натуральное число, функция линейна.

Подсказка: просто использовать кусочно-линейную интерполяцию, это о ней. Таблицу значений отсортировать по возрастанию X.

Задача 2. Для функции, заданной таблично

оценить значение определенного интеграла от нее на интервале [0;1]. Достаточно использования метода первого порядка по точности.

Подсказка: подойдёт метод левых или правых прямоугольников.

Задача 3. Проинтегрировать таблично заданную функцию методом средних прямоугольников

Проверить погрешность интегрирования, если аналитическая формула для y(x)=x²

Подсказка: если принять значения x с номерами 0,2,… (выделены жирным) за границы интервалов, то x с номерами 1,3,… - середины этих интервалов. Тогда можно использовать метод средних прямоугольников, в формуле будет всего 4 слагаемых.

Задача 4. Для нелинейного уравнения a*x³+5*x-12=0 найти корень методом Ньютона с точностью 0.001 на отрезке [1.3; 1.5]. Константа a вычисляется как решение системы 2 уравнений:

2*a²-8 = 0

7*a-14 = 0

Подсказка: сначала решить систему символьно в блоке Given-Find, потом запрограммировать метод Ньютона.

Задача 5. Решить СЛАУ A*x=b методом простой итерации с точностью ε=0.05. Начальное приближение x⁽⁰⁾=b. Оценить количество итераций

Подсказка: для обеспечения сходимости итерационного метода решения СЛАУ нужно диагональное преобладание в матрице. Для его обеспечения достаточно переставить местами 1-е и 3-е уравнения

Задача 6. Сравнить число шагов, требуемых для решения нелинейного уравнения x³-x²+10x=8 на отрезке [0.7;0.9] с точностью 0.01 методами половинного деления отрезка и метода, где отрезок делится в пропорции золотого сечения.

Подсказка: отличие "метода золотого сечения" – только в пропорции, в которой делится отрезок: вместо 1/2 : 1/2 используется соотношение (√5-1)/2   : 1 – (√5-1)/2. Потом смотрим сюда. В отличие от задачи минимизации функции, никакая пропорция деления отрезка не даст вычислительных преимуществ в общем случае.

Задача 7. Решить любым способом СЛАУ, найдя хотя бы 1 решение с точностью не ниже 0.01. Обосновать выбор метода решения

Подсказка: Эта система - вырожденная, обратной матрицы не существует, ранг системы равен 2. Единственный смысл, в котором её можно "решить" - попробовать итерационный метод с начальным приближением x⁽⁰⁾=b или x⁽⁰⁾=0. Так, в первом случае метод Гаусса-Зейделя даст ничему не противоречащее решение (-0.5; 2; -0.5).

Задача 8. Задана таблица значений функции:

Найти коэффициенты a,b прямой P(x)=a+b*x, наиболее приближенной к заданным точкам.

Подсказка: просто МНК первого порядка.

Задача 9. Решить уравнение 2*x³ = 12 – 5*x методом Ньютона на отрезке [1.3; 1.5] с заданным числом итераций = 5 и приближением первой производной конечной разностью 1 порядка = Δy/Δx. Оценить погрешность полученного решения.

Подсказка: заменить вычисление производной конечной разностью первого порядка, как в этом примере.

Задача 10. С помощью явного метода Эйлера найти приближённое решение задачи Коши для ОДУ 1 порядка: u ’ = f(t,u) = t² + u³, t ∈ [0;1], u(0)=1, τ = 0.2

Подсказка: в задаче никаких особенностей, даже не знаю, почему она здесь :)

Задача 11. По таблице исходных данных

Построить полином максимально возможного порядка. Найти значения полинома при x=-2, x=2

Подсказка: по 4 точкам зависимость выше, чем от x³, не построишь, значит, канонический полином или полином Лагранжа.

Задача 12. Решить СЛАУ A*x=b с исходными данными

где x1 - максимальный по модулю корень уравнения -x²+2x+1=0, x2 - максимальный корень уравнения x²-6x-2=0. Для решения уравнений использовать подпрограмму-функцию

Подсказка: просто написать функцию поиска максимального по модулю корня квадратного уравнения и дважды вызвать :)

Задача 13. С помощью полинома Лагранжа построить график зависимости Y(X) по заданным значениям X=0; 0.25; 0.5; 0.75; 1 и значениям Y(X), полученным из решения задачи Коши для ОДУ 1 порядка u’=f(t,u)=t²+u, t Î [0;1], u(0)=1, τ =0.25 модифицированным методом Эйлера

Подсказка: решить задачу Коши как здесь, найденные 5 значений Y использовать для построения канонического полинома или полинома Лагранжа как здесь.

Задача 14. Найти значение интеграла ∫_max^min (x³-3x+2)dx, где min – минимальное значение подынтегральной функции на интервале [0;2], max – ее максимальное значение на интервале [-2;0]

Подсказка: найти максимум и минимум блоками Given - Maximize  и Given - Minimize, затем взять интеграл стандартным инструментом.

Задача 15. Задана таблица значений функции:

C помощью метода наименьших квадратов найти коэффициенты a, b, c функции P(x)=a+bx+cx², наиболее приближенной к заданным точкам. СЛАУ МНК решить с помощью метода Крамера. Для найденной зависимости P(x) вычислить среднеквадратичное отклонение по всем точкам.

Подсказка: стандартный МНК 2 порядка (тольско сформировать матрицу), затем метод Крамера.

Задача 16. С помощью метода деления отрезка пополам построить и вывести последовательность приближенных решений уравнения  x³+x²-10x+8 =0 , сходящуюся к корню x=1 (ε=0.01).

Подсказка: просто запоминать в векторе последовательность значений c, программируя метод бисекции.

11.12.2015, 17:01 [9401 просмотр]