БлогNot. О правильных и полуправильных паркетах...

О правильных и полуправильных паркетах...

Не получилось сделать то, что хотел, коротко говоря, нужна была некая сетка на гексах, свёрнутая по принципу тора, может, доску Глинского загнуть в тор и хватит на этом? Но маловата по количеству клеток :)

А начинал думать с банального правильного паркета из шестиугольников, который и является очень популярной ныне в приложениях гекс-сеткой. Поскольку, кроме нескольких ссылок, что-то связное осталось только о паркетах, скину сюда это в качестве памятки.

Правильный паркет состоит из правильных многоугольников и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одинаковым способом.

Почему правильных паркетов на евклидовой плоскости всего 11? Известно, что сумма углов n-угольника равна 180*(n−2). Так как у правильного n-угольника все углы одинаковы, каждый из них равен 180*(n-2)/n.

Если в одной вершине паркета сходится m правильных n-угольников, должно выполняться равенство m*180*(n-2)/n = 360 (градусов). Отсюда m = 360*n/(180*(n-2)) или 2*n/(n-2) после упрощения.

Нужны такие n, чтобы получалось целое m. При n = 3, 4 или 6 функция f(n) = 2*n/(n-2) даёт целые значения, а дальше асимптотически убывает:

Для паркета из правильных многоугольников годятся только треугольники, квадраты и шестиугольники
Для паркета из правильных многоугольников годятся только треугольники, квадраты и шестиугольники

Значит, плоскость можно заполнить только треугольниками, квадратами или шестиугольниками, если все правильные многоугольники должны быть одинаковыми.

Если допускаем в паркете разные многоугольники, нужно определить, сколько многоугольников может сходиться в одной вершине паркета.

Минимальный из углов среди правильных многоугольников - у правильного треугольника, 60 градусов, значит, в одной вершине может сходиться не более 6 многоугольников (для семи и более многоугольников хотя бы один угол в правильном многоугольнике окажется меньше 60 градусов, что невозможно).

А если бы в одной вершине могли сходиться только 2 правильных многоугольника, у одного из них внутренний угол оказался бы более 180 градусов, что также невозможно.

Значит, в вершине могут сходиться от 3 до 6 многоугольников включительно. Потом решаем в целых числах уравнения вида

Паркетное уравнение
Паркетное уравнение

где ni - количества углов очередного правильного многоугольника, а i меняется от 3 до 6 включительно.

В прикреплённых ниже статьях доказывается, что существуют только следующие способы уложить паркет комбинациями правильных многоугольников: (4,4,4,4) ; (3,3,3,3,3,3) ; (6,6,6) ; (6,3,6,3) ; (8,4,8) ; (6,4,3,4) ; (12,6,4) ; (12,3,12) ; (4,3,3,3,4) ; (4,3,3,4,3) ; (6,3,3,3,3).

Цифры в скобках обозначают тип многоугольников, сходящихся в каждой вершине и перечисленных по порядку обхода: 3 - правильный треугольник, 4 - квадрат, 6 - правильный шестиугольник, 8 - правильный восьмиугольник, 12 - правильный двенадцатиугольник.

 Архив .zip с отработанными материалами по паркетам :)

Содержимое архива:

  • Папка 1: О. Михайлов. 11 правильных паркетов (статья картинками jpg)
  • Папка 2: П. Совертков. Геометрический паркет на экране компьютера (статья картинками jpg)
  • Папка dwg: файлы dwg (Autocad 2015) с "заготовками" паркетов
  • Папка jpg: 11 паркетов, цветные картинки JPG, качество не очень, нужны были лишь для наглядности :)

  Всё о правильных паркетах в Вики

 Факты о гексагональных сетках

 Может ли наша Вселенная быть конечной и топологически сложной?


теги: ошибка памятка математика

10.11.2016, 14:07; рейтинг: 3303