"Загадочный" интеграл

Видел, как люди мучались, пытаясь численно взять определённый интеграл от функции f(x)=(1-x)/x на интервале [-1;0.5]. Конечно, никакой теоретический порядок точности не соблюдался, и результаты на 20 узловых точках разительно отличались от результатов на 10 :)

Всё дело в том, что численный метод, особенно такой простой, как прямоугольники - не догма, а руководство к действию. А тем более, компьютер - не гуру математики, а тупые счёты :)

Очевидно, что у нашей функции при x=0 - разрыв. В близких к нулю точках сетки, попавшихся при том или ином разбиении интервала интегрирования, значения будут "плохими" (см. жёлтое на рис.)

Определенный интеграл не берется численно, если на интервале интегрирования есть точка разрыва

Все эти численные методы вообще работают, если на интервале интегрирования нет особенностей функции, таких как разрывы. А в общем случае Mathcad, например, тоже не может интегрировать функции, имеющие особенности во внутренних точках интервала интегрирования.

 Этот пример в Excel (29 Кб)

17.12.2012, 14:11 [11293 просмотра]