Mathcad: про нормы векторов и матриц

Вообще-то, норм можно придумать 100500 штук, так как, по определению, нормой вектора x называется значение ||x||, удовлетворяющее всего трём аксиомам:

1. ||x||≥0, причём, ||x||=0 тогда и только тогда, когда x=0;
2. ||α*x||=|α|*||x|| для любого вектора x и любого числа α;
3. ||x+y|| = ||x|| + ||y|| для любых векторов x, y.

На практике наиболее употребительными являются следующие три нормы:

Нормы L1, евклидова норма, равномерная норма вектора

Они называются L₁-норма, евклидова норма и равномерная норма.

Первая для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.

Вторая является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.

Третья - всего лишь модуль максимального значения. Зато необычайно удобный при исследовании сходимости итерационных процессов.

К слову сказать, абсолютная и относительная погрешности вектора вводятся с помощью формул:

Абсолютная и относительная погрешности вектора

Так вот, встроенных функций для вычисления норм вектора в Mathcad нет. Норма L₁ может быть легко вычислена напрямую через оператор суммы и оператор "Абсолютная величина" (модуль числа) с панели Калькулятора, см. формулу (1), здесь и далее расчёт не зависит от значения ORIGIN.

Евклидова норма вектора вычисляется значком "Абсолютная величина", применённым ко всему вектору значений или напрямую по формуле (2).

Третью норму найти также несложно, применяя модуль с панели калькулятора и оператор "Векторизовать" с панели "Матрицы", см. формулу (3).

Расчёт норм вектора в Mathcad

А вот для вычисления соответствующих норм матрицы можно воспользоваться встроенными функциями norm1(A), norme(A), normi(A).

27.09.2016, 14:13 [17362 просмотра]