Mathcad: про нормы векторов и матриц

Вообще-то, норм можно придумать 100500 штук, так как, по определению, нормой вектора x называется значение ||x||, удовлетворяющее всего трём аксиомам:

1. ||x||≥0, причём, ||x||=0 тогда и только тогда, когда x=0;
2. ||α*x||=|α|*||x|| для любого вектора x и любого числа α;
3. ||x+y|| = ||x|| + ||y|| для любых векторов x, y.

На практике наиболее употребительными являются следующие три нормы:

Нормы L1, евклидова норма, равномерная норма вектора

Они называются L₁-норма, евклидова норма и равномерная норма.

Первая для вектора представляет собой сумму модулей всех его элементов.

Вторая является геометрическим расстоянием между двумя точками в многомерном пространстве, вычисляемым по теореме Пифагора.

Третья - всего лишь модуль максимального значения. Зато необычайно удобный при исследовании сходимости итерационных процессов.

К слову сказать, абсолютная и относительная погрешности вектора вводятся с помощью формул:

Абсолютная и относительная погрешности вектора

Так вот, встроенных функций для вычисления норм вектора в Mathcad нет. Норма L₁ может быть легко вычислена напрямую через оператор суммы и оператор "Абсолютная величина" (модуль числа) с панели Калькулятора, см. формулу (1), здесь и далее расчёт не зависит от значения ORIGIN.

Евклидова норма вектора вычисляется значком "Абсолютная величина" или напрямую по формуле (2).

Третью норму найти также несложно, применяя модуль с панели калькулятора и оператор "Векторизовать" с панели "Матрицы", см. формулу (3).

Расчёт норм вектора в Mathcad

А вот для вычисления соответствующих норм матрицы можно воспользоваться встроенными функциями norm1(A), norme(A), normi(A).

27.09.2016, 14:13 [14901 просмотр]